Muokataan osiota sivusta Bayesin teoreema

==Bayesin teoreeman asema==

Bayesilainen tilastoteoria, joka siis perustuu yo. teoreeman käyttöön, on yksi tilastomatematiikan pääsuuntauksista. Muita tapoja ovat [[wp:Ronald Fisher|fisheriläinen]] ja [[wp:Karl Pearson|pearsonilainen]] lähestymistapa.

Bayes-päättelyt perustuvat suoraviivaisesti todennäköisyyslaskennan perusyhtälöihin<ref>eli perusidentiteetteihin</ref> (ks. alla). Itse teoreema on siis hyvin varmasti oikein.<ref>Ellei Bayesin teoreema pätisi, kaikkien tilastomatematiikan haarojen tarvitseman todennäköisyyslaskennan perusteet kyseenalaistuisivat kokonaisuudessaankin – tämä ei siis ensinkään vahvistaisi kilpailevien lähestymistapojenkaan uskottavuutta vaan päinvastoin söisi sitäkin.</ref> Kiistanalaiseksi jääkin lähinnä kysymys siitä, paljonko teoreemaa käyttäen saataviin tuloksiin on luottamista, kun ottaa huomioon, että laskuissa käytettävää priori-todennäköisyyttä<ref>johdatteluesimerkeissä siis avaamattomien pakettien keksimääriä</ref> ei välttämättä tiedetä, joten on mahdollista syyttää Bayesin kaavaan kulloinkin sijoitettuja lähtöarvoja "hatusta vedetyiksi" ja väittää saatuja tuloksiakin näin ollen arvottomiksi.<ref>Englanniksi tämäntyyppinen kritiikki on ilmaistavissa ytimekkäästi: ''"garbage in, garbage out."''</ref>

Näin tilastomatematiikan suuntausten välinen perustekeskustelu (tai -väittely) ei koske (kaikkien tunnustaman) Bayesin laskukaavan matemaattista pätevyyttä sinänsä vaan palautuu viime kädessä matematiikan soveltamiseen liittyviin ''taustafilosofisiin kysymyksiin'' ja näistä ennen muuta ''todennäköisyyden käsitteeseen'':
* ''Bayesiläiset'' kannattavat tyypillisesti ''episteemistä todennäköisyyskäsitystä'', jonka mukaan todennäköisyys-käsite ilmaisee henkilön<ref>viime kädessä kenen hyvänsä tarkemmin määrittelemättömän mutta tarkasti ja johdonmukaisesti päättelevän ja tällä tavoin kunkinhetkisiä näkemyksiään jatkuvasti arvioivan ja tarvittaessa päivittävän älyllisen agentin</ref> uskomuksen astetta<ref>siis sitä, missä määrin hän "kallistaa korvaansa" tietynsisältöisen väitteen suuntaan</ref> tai hänen tietonsa varmuusastetta<ref>siis sitä, miten hyvät perusteet hän pystyy tietyssä tilanteessa esittämään senhetkisen kantansa eli sillä hetkellä käytettävissään olevan informaation perusteella uskottavimmaksi arvioimansa vaihtoehdon puolesta</ref>.
* ''Frekventistisessä'' eli otoksien suhteellisiin määriin perustuvassa todennäköisyyskäsityksessä todennäköisyyksien ajatellaan kuvaavan toistokoetulosten suhteellisia määriä. Tämä perustuu eräänlaiseen todennäköisyyskäsitteestä tehtyyn käänteispäättelyyn:
*# Jos jossain tilanteessa tietynlainen todennäköisyysjakauma on "oikeasti voimassa", toistokokeiden tulosten suhteelliset frekvenssit (tietyn tuloksen antaneiden kokeiden lukumäärät tehtyjen toistojen kokonaislukumäärällä jaettuina) lähestyvät asymptoottisesti kyseisten tulosten kaiken aikaa voimassaolevia todennäköisyyksiä (ns. suurten lukujen laki); tämä on Kantin terminologiassa "analyyttinen totuus ''a priori''" eli käsitemääritelmistä johdettavissa oleva välttämätön järjen päätelmä.
*# Frekventistinen todennäköisyysfilosofia tarttuu tähän analyyttis-deduktiivis-aprioriseen totuuteen ja käyttää sitä käänteisesti, empiiris-induktiivis-aposteriorisesti: "Tietyn tapahtuman todennäköisyys tietyssä tilanteessa on tämän tapahtuman sattumisen suhteellisen frekvenssin raja-arvo tässä tilanteessa tehdyssä rajoittamattoman pitkässä toistokoe- tai havaintosarjassa."
* Frekventistisen tulkinnan ongelmaksi muodostuu, että yleensä käytettävissä ei kuitenkaan ole tarpeeksi toistokoetuloksia,<ref>Joissain fysikaalisissa mittauksissa toistoja voi katsoa saatavan frekventismin tarpeisiin riittävästi, esim. "[[wp:Youngin_kaksoisrakokoe|kapean raon kokeessa]]" valoherkkään pintaan osuneet fotonit muodostavat kuvion, jonka avulla niiden noudattama todennäköisyysjakauma on vakuuttavasti määritettävissä. Useissa muissa yhteyksissä tutkijoiden käytettävissä on kuitenkin vain hyvin rajallinen havaintomäärä, jonka sisältämää informaatiota tulisi sitten mahdollisimman hyvin hyödyntää.</ref> joten frekventistit joutuvat puhumaan pikemminkin siitä, miten asioiden "tulisi olla" kuin siitä, miten ne ovat.<ref>"Olettaen, että toistojen lisääminen ei olisi muuttanut tilannetta, 'oikeat todennäköisyydet' ovat samat kuin käytettävissämme nyt olevat havaintotulosten suhteelliset frekvenssit, joita olemme käyttäneet näiden todennäköisyyksien estimaatteina. Siinä tapauksessa tilanteessa, jossa toistoja olisi jatkettu niin kauan, että suhteellisten frekvenssien raja-arvot olisivat olleet riittävällä tarkkuudella riittävän luotettavasti määritettävissä, saadut raja-arvot eli tapahtumien 'oikeat todennäköisyydet' olisivat olleet samat kuin nämä estimaattimme; valitettavasti emme ole nyt sellaisessa tilanteessa emmekä voi siihen päästäkään, mutta oletetaanpa sentään yhtä kaikki, että käytettävissämme nyt olevat estimaatit eivät liiaksi poikkea 'oikeista todennäköisyyksistä', ja jatketaan laskemista siltä pohjalta; muutenhan emme saisi mitään tuloksia. Voimmehan sitä paitsi laskea todennäköisyyksiä sille, että todellinen tilanne on ainakin melko lähellä saamiamme tuloksia ja ilmoittaa raporteissamme myös näiden laskelmiemme arvot; sittenhän vastuu siirtyykin lukijalle, joka päättäköön, mihin ja miten näitä tuloksia käyttää."</ref> Vaikka tämän käsityksen ajateltiinkin olevan objektiivinen, niin käytännössä, koska ääretöntä sarjaa toistokokeita ei ole oikeastaan missään tilanteessa<ref>ja asymptoottiarvioihin riittäviä toistosarjojakin vain hyvin harvoin</ref>, siihen pitäytyminen johtaa asianomaiset usein tiedostamattaankin olettamaan asioita, joita he eivät omien kriteeriensä puitteissa pysty mitenkään varmistamaan.<ref>Näitä vaihtoehtoja voi havainnollistaa [[wp:Juice Leskinen|Juice Leskisen]] sanoin: "Älä usko poliitikkoa: hän luulee tietävänsä; älä usko tiedemiestä: hän tietää luulevansa." Tässä tapauksessa frekventistit siis vastaavat suunnilleen Juicen "poliitikkoa" ja bayesiläiset puolestaan "tiedemiestä".</ref>

Koska episteeminen todennäköisyys on luonteeltaan "vaatimattomampi" kuin frekventistinen, sitä voidaan usein ainakin välttävästi arvioida, joten priori-ongelma ei usein ole merkittävä. Priorin valintaan ei kuitenkaan ole yhtä oikeaa tapaa. Tarkoitus olisi, että priori kuvaa henkilön tietämyksen tilaa, mutta tietämyksen esittäminen matemaattisesti ei ole ongelmatonta. Matemaattiset tietämyksenesittämismenetelmät ovat usein merkittävästi riippuvaisia mm. tutkimusjärjestelyjen suhteen tehdyistä valinnoista eivätkä yleensä ole parametrisoinnista riippumattomia. Riittävän oikealla priorilla saadaan kuitenkin yleensä riittävän oikeita tuloksia, ja yleensä havaintojen kasvaessa priorin merkitys vähenee nopeasti.<!-- <ref>Siis laskentatulokset riippuvat suhteessa yhä enemmän <math>P(A|B) = \frac{P(B | A)\, P(A)}{P(B)}\,\! </math> ja vastaavasti suhteessa vähemmän <math>P(A)</math>:sta.</ref> --> Järkevien priorivalintojen vaikutusta lopputulokseen voidaan myös arvioida. Voidaankin argumentoida, että priori-ongelma ei ole ongelma, vaan rehellistä oman rajallisuutemme myöntämistä. Yksi bayesiläisen päättelyn vahvuuksista onkin se, että tehdyt oletukset ovat paremmin esillä eivätkä piilossa alan keittokirjamaisten päättelyreseptien takana.

Ehkä merkittävin puute bayesiläisessa hypoteesitestauksessa on se, että sillä voidaan vain vertailla olemassaolevia hypoteeseja keskenään. Yhtä teoriaa ei voida arvioida. Käytännössä jopa bayesilaisen hypoteesitestauksen tiukimmat puolestapuhujat kuten Jaynes vetoavat Fisherin hypoteesitestauksen kaltaisiin kriteereihin tilanteissa, joissa on tarve miettiä että pitäisikö etsiä jotain parempaa teoriaa.

Ongelmistaan huolimatta bayesilainen tapa tarjoaa hyvin perustellun, systemaattisen ja todennäköisyyksiin perustuvan tavan arvioida argumentteja. Siihen on sisäänrakennettuna useimmat olennaiset tieteenfilosofiset teorianvalinnan kriteerit. Bayesin teoreema voidaan laajentaa väittämien välisten uskomusverkkojen systemaattiseen analyysiin (Bayes nets), joka sopii hyvin maailmankatsomusten analyysiin. 

Huomattavimpia Bayesin teoreemaa käyttäviä kristittyjä filosofeja on Richard Swinburne. Teoksessaan The Existence of God Swinburne käy läpi mm. kosmologisen ja teleologisen argumentin, [[pahan ongelma]]n, uskonnolliset kokemukset ja [[Jeesuksen ylösnousemus|Jeesuksen ylösnousemuksen todisteet]] ja päätyy siihen, että käsitellyn evidenssin pohjalta Jumalan olemassaolo on todennäköisempää kuin ei.