Muokataan osiota sivusta Bayesin teoreema

=== Bayesin kaava selityksineen ===

Teoreeman perussisällön voi siis ilmaista seuraavalla kaavalla<ref>Tässä on seurattu sisäisesti johdonmukaista englanninkielisen Wikipedian merkintätapaa.</ref>:

:<math>P(A|B) = \frac{P(B|A)\;P(A)}{P(B)}\!</math>
 
* <math>P(A)\!</math> on ''A'':n priori- eli marginaalitodennäköisyys. Se on apriorinen siinä mielessä, että sen määrittämisessä ei oteta huomioon mitään ''B'':hen liittyvää informaatiota.
* <math>P(A|B)\!</math> on ''A'':n todennäköisyys ehdolla ''B''. Tätä kutsutaan myös posteriori-todennäköisyydeksi ja sen arvo halutaan Bayesin sääntöä soveltamalla selvittää.
* <math>P(B|A)\!</math> on ''B'':n todennäköisyys ehdolla ''A''. Tämä todennäköisyys voidaan tietää tai arvioida siksi, että tyypillisessä tapauksessa ''A'':n merkitys ''B'':n kannalta on helpommin hahmotettavissa kuin ''B'':n merkitys ''A'':n kannalta. Keksiesimerkeissä pakettisisällöt olivat selvillä etukäteen, ja usein muulloinkin ''A'' on jonkinlainen jakaumahypoteesi tai muu laaja-alainen oletus, jonka voimassaollessa erilaisten tapahtumaskenaarioiden todennäköisyyksiä voidaan arvioida tai laskea varsin suoraviivaisesti.
* <math>P(B)\!</math> on ''B'':n priori- eli marginaalitodennäköisyys. P(B) toimii Bayesin säännön ''normalisointi-'' eli ''skaalausvakiona''<ref>''B'' on Bayesin sääntöä sovellettaessa vakio siinä mielessä, että '''vertailevassa hypoteesitestauksessa''', jossa yhden "''A''":n sijasta tarkastellaankin useampia hypoteeseja rinnakkain ja sovelletaan Bayesin sääntöä kuhunkin niistä erikseen, kaikki ''A'':n sisältävät lausekkeet riippuvat kulloisestakin hypoteesista mutta P(B) (kaavan ainoa lauseke, joka ei sisällä ''A'':ta) pysyy vakiona hypoteesista riippumatta. Näin ollen hypoteesien keskinäisissä uskottavuusvertailuissa P(B):n voi jättää huomiottakin (eli vertailla pelkkien <math>P(B|A) \cdot P(A)</math> -tyyppisten lausekkeiden arvoja), mutta jos vertailuarvot halutaan pitää todennäköisyyksinä eikä pelkkinä "suurempi on parempi" -vertailulukuina, ne on normalisoitava eli skaalattava P(B):llä jakamalla. &ndash; Todennäköisyytenä P(B) on aina suljetulla reaalilukuvälillä [0,1], ja jotta sitä voisi käyttää Bayesin kaavan mukaisella tavalla, sen arvo ei saa olla tasan 0, kuten englanninkielinen Wikipedia edellä toteaakin.</ref>. ''B'':tä kutsutaan joskus havainnoksi, ja Bayesin teoreeman tyypillinen käyttötapa lähtee siitä, että ''B'':n on havaittu tapahtuneen tai olevan voimassa ja että nyt halutaan tietää, miten tämän seikan huomioon ottaminen vaikuttaa ''A'':n todennäköisyyteen eli miten ''A'':n prioritodennäköisyys ''B'':tä koskevan informaation huomioonottamisen myötä päivittyy ''A'':n posterioritodennäköisyydeksi.

'''Marginaalitodennäköisyyksistä''' puhuminen liittyy ajatukseen, että nämä todennäköisyydet summaavat kyseisten tapahtumien todennäköisyydet kaikkien vaihtoehtoisten tilanteiden "yli": kun mitään lisäinformaatiota ei käytetä näiden todennäköisyyksien laskemiseen, mitään vaihtoehtoja ei ole suljettu niistä pois. Taulukkomuotoisissa esityksissä nämä arvot saadaan ristiintaulukoitujen yhteistapahtumien todennäköisyyksien summina taulukon reunoihin eli marginaaleihin. Tätä toimenpidettä<ref>ja sen tulosten jatkokäyttöä &ndash; esim. sillä tavoin havaintoaineistosta lasketun jonkin tapahtuman suhteellisen frekvenssin arvon käyttöä kyseisen tapahtuman todennäköisyyden arviona eli estimaattina tai jonkin muuttujan vaikutuksen eliminointia yhdistämällä sen eri arvoilla saadut havaintotulokset ja poistamalla kyseinen muuttuja huomioon otettavien selitystekijöiden joukosta</ref> sanotaan ''marginalisoinniksi''.